Résoudre un angle : Utilisation de la calculatrice et des méthodes mathématiques
La mesure d'un angle désigne le processus qui consiste à déterminer la taille, une valeur spécifique, d'un angle formé entre deux rayons au niveau d'un sommet commun. Cela peut se faire manuellement ou mathématiquement par le biais de calculs.
Mesure manuelle des angles
Les angles peuvent être mesurés manuellement à l'aide d'un rapporteur. Pour cela, il faut placer le rapporteur sur l'un des rayons, la valeur 0 se trouvant à l'intersection des deux rayons (sommet commun) et tout en regardant à quelle valeur le deuxième rayon atteint le rapporteur.
Avec un rapporteur, les angles sont généralement mesurés en degrés.
Mesure mathématique des angles
Les angles peuvent également être mesurés mathématiquement de différentes manières. Par exemple, en utilisant le fait que la somme de tous les angles le long d'une ligne droite doit être égale à 180°, nous pouvons calculer les valeurs des angles manquants.
Calcul d'angles sur une ligne droite
Trouve la valeur de x.
La somme des deux angles du diagramme doit être égale à 180° puisqu'ils se trouvent sur une ligne droite. x = 180° - 109° = 71°.
Calcul d'angles dans les polygones
Pour trouver les angles manquants dans les polygones, nous pouvons calculer la somme des angles intérieurs à l'aide de la formule suivante :
Somme des angles intérieurs = (n - 2) × 180°, où n est le nombre de côtés du polygone.
À partir de cette somme, nous pouvons trouver l'angle manquant.
Trouve la valeur de l'angle x.
La forme ci-dessus a 6 côtés, c'est un hexagone. Par conséquent, la somme des angles intérieurs est de (6 - 2) × 180° = 720°. Comme nous connaissons les valeurs de tous les autres angles, nous pouvons calculer x : x = 720° - (138° + 134° + 100° + 112° + 125°) = 111°.
La somme de tous les angles extérieurs d'un polygone est toujours de 360°. Ceci est indépendant du nombre de côtés du polygone. Par conséquent, tu peux également utiliser ce fait pour trouver les angles extérieurs manquants.
Utilisation de la trigonométrie pour mesurer les angles dans un triangle
Les angles d'un triangle peuvent être mesurés mathématiquement en utilisant la trigonométrie. La trigonométrie est le domaine des mathématiques qui met en relation les angles et les côtés des triangles. Dans un triangle rectangle, par exemple, si nous connaissons la longueur de deux côtés du triangle, nous pouvons calculer n'importe quel angle, θ, en utilisant SOH CAH TOA.
Étapes pour mesurer les angles dans un triangle rectangle
- Étiqueter les côtés du triangle :
- Opposé : le côté opposé à l'angle θ.
- Hypoténuse : le côté le plus long, opposé à l'angle de 90°.
- Adjacent : le côté restant, adjacent à l'angle θ.
Les fonctions sinus, cosinus et tangente relient le rapport de deux côtés d'un triangle rectangle à l'un des angles. Pour se rappeler quelles fonctions impliquent quels côtés du triangle, nous utilisons l'acronyme SOH CAH TOA :
- SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
- CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
- TOA : Tangente = Opposé / Adjacent
Trouve la valeur de l'angle θ.
D'après le schéma, nous pouvons voir que l'hypoténuse = 9 cm et l'adjacente = 4 cm. Nous pouvons donc calculer la valeur du cosinus de l'angle θ : cos θ = 4/9 ≈ 0,444. Pour trouver l'angle lui-même, tu devras appuyer sur la touche cos⁻¹ de ta calculatrice et entrer 0,444. Tu obtiendras ainsi une réponse d'environ 63,6°.
Utilisation de la calculatrice pour déterminer la mesure d'un angle
Pour déterminer la valeur d'un angle à l'aide de la calculatrice, il convient d'utiliser les touches cos⁻¹ (arccos) ou sin⁻¹ (arcsin).
Configuration de la calculatrice en mode degrés
Pour traiter le cas où l'on cherche une mesure en degré d'un angle, il est essentiel de s'assurer que la calculatrice est configurée en mode degré.
- Dans le menu principal de la calculatrice (souvent appelé "Run"), appuyez sur SHIFT, puis sur MENU pour accéder aux réglages ("SET UP").
- À la ligne "Angle", sélectionnez "Deg" (degrés) ou "Rad" (radians). Utilisez les touches de fonction (souvent F1, F2, etc.) pour faire votre choix.
- Appuyez sur MODE.
- À la ligne indiquant les unités d'angles (souvent la 3e ou 4e ligne), sélectionnez "degré" ou "radian".
Il est crucial de vérifier que la calculatrice est bien réglée en mode degré. Si ce n'est pas le cas, modifiez le réglage.
Utilisation des fonctions arcsinus et arccosinus
Une fois la calculatrice configurée en mode degrés, vous pouvez procéder à la détermination de l'angle.
- Rappeler la valeur du sinus ou du cosinus : Notez la valeur 'a' du sinus ou du cosinus qui vous est donnée.
- Utiliser la calculatrice : Tapez sin⁻¹(a) ou cos⁻¹(a).
- Pour les calculatrices de la marque Casio, utilisez les touches SHIFT et cos, ou SHIFT et sin.
- Sur certaines calculatrices de la marque TI, obtenez "sin-1" ou "cos-1" avec la touche trig.
- Pour d'autres calculatrices TI, utilisez 2nde et cos, ou 2nde et sin.
Par exemple, pour déterminer la mesure x de l'angle aigu dont le sinus vaut 0,23, tapez sur la calculatrice : sin⁻¹, 0, ., 2, 3, puis appuyez sur EXE ou Entrée.
Si vous utilisez cos⁻¹, la calculatrice donnera la valeur de l'angle x dans l'intervalle [0, 180°] en degrés.
Le résultat obtenu est approximativement x ≈ 13,30°.
Unités de mesure des angles
Les angles peuvent être mesurés en degrés et en radians. Les degrés sont compris entre 0 et 360°, et les radians entre 0 et 2π.
Pour convertir des degrés en radians, utilisez la formule suivante :
Radians = Degrés × π / 180
Les radians sont souvent exprimés en termes de π lorsque c'est possible.
On a mesuré qu'un angle dans un triangle était de 45°. Quelle est sa valeur en radians ?
En utilisant la formule ci-dessus, nous trouvons que : Radians = 45 × π / 180 = π/4.
Angles aigus
Un angle aigu est un angle dont la mesure est inférieure à 90°. Ce type d'angle peut être mesuré de l'une des façons mentionnées ci-dessus, tout comme les angles obtus ou les angles droits.
Résolution d'équations trigonométriques
La résolution d'équations trigonométriques peut impliquer l'utilisation d'identités trigonométriques, la factorisation, ou les fonctions arcsin, arccos, et arctan.
Stratégies générales
- Réécrire toute l'équation en termes de sinus ou de cosinus seulement.
- Utiliser les identités trigonométriques pythagoriciennes.
- Utiliser les identités trigonométriques d'une somme ou d'une différence.
- Factoriser l'équation.
- Utiliser les fonctions arcsin, arccos ou arctan.
Il est important de vérifier si les solutions obtenues correspondent à des angles aigus ou obtus, car cela peut affecter la réponse finale, notamment lors de l'utilisation de la loi des sinus.
Équation trigonométrique
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